Parte Seconda 3 Problemi di massimo e minimo Si consideri un trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza di diametro AB = 2r ed avente per base maggiore il segmento AB. Per quale base minore l area di questo trapezio è massima? Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza SOLUZIONE Indichiamo (Fig. 5) con 2x e con h rispettivamente le misure della base minore CD e dell altezza CH del trapezio isoscele ABCD avente la base maggiore AB pari al diametro 2r della circonferenza. necessario esprimere l altezza CH in funzione di x. Essendo 1 1 OH = LC = DC = 2x = x 2 2 si ha AH = r + x HB = r x Applicando il secondo teorema di Euclide al triangolo rettangolo ABC si ha: h = CH = AH HB h = (r + x) (r x) h = r2 x2 L area S del trapezio, espressa in funzione della semibase minore x, è: Fig. 5 1 S = (AB + CD) CH 2 1 S = (2r + 2x) r2 x2 2 S = (r + x) r2 x2 La funzione S (x) deve essere studiata nell intervallo 0 < x < r Si verifica immediatamente che: lim (r + x) r2 x2 = r2 x 0 lim (r + x) r2 x2 = 0 x r 112