Parte Seconda 9 Problemi di massimo e minimo Dati i punti A (a ; 3a), B (3a ; a) con a > 0, determinare sul seg mento AB un punto P in modo che risulti massimo il prodotto S = PA PB Punto di un segmento per il quale è massimo il prodotto delle distanze dagli estremi SOLUZIONE Indichiamo (Fig. 18) con t l ascissa del punto P mobile sul segmento AB. Il coefficiente angolare della retta y = mx + q passante per A e B è yA yB 3a ( a) 4a m = = = = 2 a 3a 2a xA xB ed il coefficiente q è: q = mxA + yA q = ( 2) a + 3a = 5a Sfruttando l appartenenza del punto P alla retta passante per A, B di equazione y = 2x + 5a otteniamo l ordinata di P espressa in funzione della sua ascissa t: yP = 2t + 5a La distanza tra i punti P (t ; 2t + 5a) , A (a ; 3a) è: PA = (t a)2 + ( 2t + 5a 3a)2 PA = (t a)2 + ( 2t + 2a)2 PA = t2 2at + a2 + 4t2 8at + 4a2 PA = 5t2 10at + 5a2 PA = 5 (t2 2at + a2) PA = 5 (t a)2 PA = 5 t a PA = 5 (t a) ; Fig. 18 136