Problemi trigonometrici Parte Quarta 11 In una circonferenza di centro O e raggio unitario si conduca la corda AB tale che, costruito il triangolo equilatero ABC da parte opposta di O rispetto ad AB, l area del quadrilatero ACBO risulti massima. Area di un quadrilatero SOLUZIONE Indichiamo (Fig. 22) con 2x l angolo al centro corrispondente alla corda AB: 2x = A B L angolo alla circonferenza A B che insiste sulla corda AB è la metà dell angolo al centro corrispondente: 1 1 A B = A B = 2x = x 2 2 Per il teorema della corda si ha AB = 2r sen x ed essendo r = 1 AB = 2 sen x I lati del triangolo isoscele AOB sono: OA = OB = r = 1 AB = 2 sen x e, ricordando che l area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell angolo tra essi compreso, si ha: 1 S1 = OA OB sen 2x 2 1 S1 = sen 2x 2 Fig. 22 L area S2 del triangolo equilatero ABC risulta: 1 S2 = AB AC sen 2 3 3 1 S2 = (2 sen x) (2 sen x) 2 2 S2 = 3 sen2 x 292