Alcuni temi d esame di tipo trigonometrico Parte Quinta Data la semicirconferenza di diametro AB = 2 e centro O, tracciare le semirette perpendicolari ad AB sia in A sia in B dalla stessa parte della semicirconferenza. Indicare con C il punto della perpendicolare ad AB in B tale che sia BC = 1. Preso un generico punto T sulla perpendicolare ad AB in A, indicare con D l intersezione del segmento TO con la semicirconferenza. Posto TA = x, determinare la superficie y del quadrilatero ABCD in funzione di x e studiarne l andamento. Determinare, in particolare, il valore di x per cui la superficie assume il valore massimo. Indicare come si possa costruire con riga e compasso il segmento TA per cui l area del quadrilatero è massima. 1 Anno scolastico 1989/90 - Sessione suppletiva BC = OB = 1 = 4 SOLUZIONE Si osservi subito che il quadrilatero ABCD può essere scomposto nei tre triangoli: 1) OAD isoscele con OA = OD = 1; 2) OBC rettangolo con OB = BC = 1, angoli acuti uguali = 45° = e ipotenusa = OC = 2; 4 3) OCD con lati OD = 1, OC = 2. T D C Consideriamo il triangolo rettangolo OAT avente: cateto AT = x cateto OA = 1 ipotenusa = OT = 1 + x2 Avremo che A O B per cui Fig. 1 AT = OT sen AT sen = OT x sen = 2 , 1+x Inoltre 316 OA = OT cos