Alcuni temi d esame sulle funzioni con parametri Parte Settima 1 Si determinino i coefficienti dell equazione: y = ax3 + bx2 + cx + d in modo che la curva da essa rappresentata tocchi la retta y = x nel punto A (1 ; 1) e la retta y = 0 nel punto B (3 ; 0). Se ne disegni il grafico. Si calcoli l area della regione finita di piano delimitata dalle due rette e dall arco di curva AB. Anno scolastico 1981/82 - Sessione ordinaria SOLUZIONE Imponendo il passaggio della funzione y (x) per il punto A (1 ; 1) si ha: 1=a+b+c+d , mentre imponendo il passaggio per B (3 ; 0) : 0 = 27a + 9b + 3c + d La derivata prima della y (x) è y = 3ax2 + 2bx + c Il coefficiente angolare m della retta tangente alla curva y (x) nel punto di ascissa x0 è uguale alla derivata prima calcolata nel punto x0 : m = y (x0) Nel punto A, di ascissa x0 = 1, la curva y (x) è tangente alla retta y = x avente coefficiente angolare m = 1; otteniamo perciò la condizione: y (1) = 3a + 2b + c = 1 Nel punto B, di ascissa x0 = 3, la curva y (x) è tangente alla retta y = 0 (asse delle ascisse) avente coefficiente angolare m = 0; otteniamo perciò la condizione: y (3) = 27a + 6b + c = 0 Le quattro condizioni: 1) 2) 3) 4) a+b+c+d=1 passaggio per A (1 ; 1) 27a + 9b + 3c + d = 0 passaggio per B (3 ; 0) 3a + 2b + c = 1 tangenza in A (1 ; 1) alla retta y = x 27a + 6b + c = 0 tangenza in A (1 ; 1) alla retta y = 0 consentono di ricavare i 4 parametri a, b, c, d della funzione y (x). 378