Alcuni temi d esame sulle funzioni con parametri Parte Settima 7 Una parabola passante per gli estremi di un diametro di una circonferenza di raggio r ha le tangenti in tali punti perpendicolari fra loro e l asse del diametro come asse di simmetria. Si scrivano, in un sistema di assi cartesiani opportunamente scelto, le equazioni della parabola e della circonferenza e si calcolino le aree delle regioni finite di piano delimitate dalle due curve. Anno scolastico 1982/83 - Sessione ordinaria SOLUZIONE Il sistema di riferimento più opportuno è quello avente l origine O coincidente con il centro della circonferenza (Fig. 12). In tale sistema di riferimento l equazione della circonferenza è x2 + y2 = r2 Considerato il diametro AB sull asse delle ascisse, si ha A ( r ; 0) , B (r ; 0) , e l asse del diametro coincide con l asse delle ordinate. La parabola, con asse coincidente con l asse y, ha il vertice V sull asse y ed equazione y = ax2 + c Fig. 12 Imponendo il passaggio per il punto A si ha 0 = ar2 + c e quindi c = ar2 e l equazione della parabola diventa y = ax2 ar2 Per determinare il parametro a sfruttiamo la condizione di perpendicolarità tra le due rette s, t tangenti alla parabola rispettivamente nel punto A e nel punto B. La derivata prima dell equazione della parabola è y = 2ax 414