Calcolo di aree e di volumi Parte Ottava 5 Studiare la curva di equazione 2 y = 2 1+x e poi calcolare l area della regione di piano limitata dalla curva e dalla parabola y = x2 Area della regione di piano racchiusa tra una curva e una parabola SOLUZIONE Il denominatore x2 + 1 non ammette radici e, perciò, la funzione è definita per qualunque valore della x ed è sempre positiva. Essa inoltre è simmetrica rispetto all asse delle ordinate in quanto y (x) = y ( x) L intersezione con l asse delle ordinate è y (0) = 2 mentre non ci sono intersezioni con l asse delle ascisse. Per x la funzione tende a zero: 2 lim 2 = 0 x 1 + x e, quindi, l asse delle ascisse è asintoto orizzontale. La derivata prima: 0 (1 + x2) 2 2x y = (1 + x2)2 4x y = (1 + x2)2 risulta positiva per x 0 perciò la funzione presenta un massimo per x = 0 il cui valore è ymax = y (0) = 2 segno della y' 0 448 x