Calcolo di aree e di volumi Parte Ottava 19 Data la parabola di equazione y = x2 + 3x e la retta y = mx con m > 0, esprimere, in funzione di m, l area S della regione di piano delimitata dalla parabola e dalla retta. Individuato quel particolare valore di m per 4 il quale l area S risulta , calcolare il volume V1 del solido ottenuto 3 dalla rotazione intorno all asse x della figura limitata dalla parabola e dalla retta e il volume V2 del solido ottenuto dalla rotazione della figura limitata dalla parabola, dalla retta e dall asse x. Verificare che la somma dei due volumi V1 e V2 è uguale al volume del solido ottenuto dalla rotazione della figura limitata dalla parabola e dall asse x. Volumi di solidi di rotazione SOLUZIONE La parabola convessa y = x2 + 3x interseca l asse delle ascisse nei punti (Fig. 22) x2 + 3x = 0 x ( x + 3) = 0 x=0 x=3 O (0 ; 0) A (3 ; 0) I punti d intersezione tra la parabola e la generica retta y = mx passante per l origine si ottengono risolvendo il sistema (Fig. 22) y = x2 + 3x y = mx mx = x2 + 3x x2 3x + mx = 0 x x 3 + m = 0 x=0 (la parabola e la retta, come già noto, si incontrano nell origine) 511