Alcuni temi d esame sul calcolo di aree e di volumi Parte Nona 2 Si consideri la funzione 1 + x2 f (x) = x2 e la sua funzione primitiva F (x) che assume lo stesso valore di f (x) per x = 1. In un piano cartesiano ortogonale (Oxy) si traccino le curve di equazione y = f (x) e y = F (x) e si determinino le equazioni delle tangenti nei loro punti comuni. Si calcoli l area della regione finita di piano delimitata dalle due curve e dalla retta di equazione x = 2. Anno scolastico 1987/88 - Sessione ordinaria SOLUZIONE La funzione F (x) si ottiene integrando la funzione f (x): F (x) = 1 + x2 dx = x2 (x 2 + 1) dx 1 F (x) = + x + C x Per determinare la costante d integrazione C si utilizza la condizione f (1) = F (1) Essendo f (1) = 2 F (1) = C si ha immediatamente C=2 e la funzione F (x) risulta 1 F (x) = + x + 2 x 1 + x2 + 2x F (x) = x La funzione 1 + x2 f (x) = x2 presenta le seguenti caratteristiche: 525